本稿では、一般位相幾何学（General Topology）および記述集合論（Descriptive Set Theory）における興味深いトピックである「可分距離空間の punctiform 空間への分解」について、基本概念の定義から証明の細部までを網羅し、自己完結的かつ詳細な解説を行います。
以下では、この驚くべき結論に至るまでの数学的な背景、定義、および証明の完全な詳細を解説します。
位相幾何学において、コンパクトで連結な距離空間（ただし1点からなる自明なものを除く）は連続体 (continuum) と呼ばれます。punctiform 空間とは「非自明な連続体を含まない空間」と言い換えることができます。
$C$ を距離空間内の非自明なコンパクト連結部分空間とします。 $C$ は2点以上を含むので、異なる2点 $a, b \in C$ が存在します。
$a$ からの距離関数 $f(x) = d(a, x)$ は連続関数 $f: C \to \mathbb{R}$ です。
連結空間の連続写像による像は連結であるため、$f(C)$ は $\mathbb{R}$ の連結部分集合、すなわち区間となります。
$f(a) = 0$ であり、$f(b) = d(a, b) > 0$ です。したがって、$f(C)$ は $0$ と $d(a, b)$ を両端に含む閉区間 $[0, d(a, b)]$ を包含します。
$\mathbb{R}$ の正の長さを持つ区間は連続体濃度 $\mathfrak{c}$ を持つため、全射 $f: C \to f(C)$ の定義域である $C$ も少なくとも連続体濃度 $\mathfrak{c}$ を持たなければなりません。コンパクト距離空間の濃度は最大でも $\mathfrak{c}$ であるため、結果として $|C| = \mathfrak{c}$ となります。
加えて $C$ はコンパクト距離空間なので、それ自体が閉集合です。したがって、非自明な連続体は必ず非可算な閉集合となります。
この証明の心臓部となるのが、記述集合論において極めて重要な役割を果たす「ベルンシュタイン集合」です。
ヒルベルト立方体 $Y = [0, 1]^\omega$ はポーランド空間（可分で完全距離付け可能な位相空間）です。ポーランド空間における非可算な閉集合の族（集まり）を $\mathcal{F}$ とします。
カントール・ベンディクソンの定理より、ポーランド空間の非可算な閉集合は完全集合（孤立点を持たない空でない閉集合）を含み、その濃度は連続体濃度 $\mathfrak{c} = 2^{\aleph_0}$ となります。また、そのような閉集合自体の総数（すなわち $\mathcal{F}$ の要素数）も $\mathfrak{c}$ であることが知られています。
選択公理を仮定し、整列可能定理を用いて $\mathcal{F}$ を最小の非可算順序数 $\mathfrak{c}$（ここでは濃度と順序数を同一視して記述します）を用いて整列させます： $$ \mathcal{F} = \{ F_\alpha : \alpha < \mathfrak{c} \} $$
超限帰納法により、各 $\alpha < \mathfrak{c}$ に対して、2点 $x_\alpha, y_\alpha \in F_\alpha$ を以下の手順で選択します。
ある順序数 $\alpha < \mathfrak{c}$ まで選択が進んだと仮定します。これまでに選ばれた点の集合を
$$ S_\alpha = \bigcup_{\beta < \alpha} \{ x_\beta, y_\beta \} $$
とします。
順序数 $\alpha$ の濃度は $|\alpha| < \mathfrak{c}$ ですから、これまでに選んだ点の総数 $|S_\alpha|$ は高々 $2 \cdot |\alpha| < \mathfrak{c}$ となります。
一方で、閉集合 $F_\alpha$ の濃度は前述の通り $|F_\alpha| = \mathfrak{c}$ です。
したがって、差集合 $F_\alpha \setminus S_\alpha$ の濃度は $\mathfrak{c}$ のままであり、空ではありません。そこから相異なる2点 $x_\alpha, y_\alpha$ を選び出すことができます。
この操作をすべての $\alpha < \mathfrak{c}$ について実行し終えた後、選ばれた $x_\alpha$ の集合を $B$ と定義します： $$ B = \{ x_\alpha : \alpha < \mathfrak{c} \} $$
この $B$ がベルンシュタイン集合であることを確認します。
任意の非可算閉集合 $F \in \mathcal{F}$ は、ある順序数 $\alpha < \mathfrak{c}$ によって $F = F_\alpha$ と表されます。構成より、$x_\alpha \in F_\alpha \cap B$ なので $F \cap B \neq \emptyset$ です。
また、$y_\alpha \in F_\alpha$ ですが、構成時に $x$ と $y$ は常に別の点として割り当てられ、後から重複して選ばれることはないため、$y_\alpha \notin B$ すなわち $y_\alpha \in B^c$ となります。よって $F \cap B^c \neq \emptyset$ です。
したがって、$B$ も $B^c$ もすべての非可算閉集合と交わり、同時にどちらも非可算閉集合を完全に包含することはありません。
任意の可分距離空間を議論の土俵（ヒルベルト立方体）に上げるための定理です。
この定理により、任意の可分距離空間 $X$ を考える際、最初から「 $X \subset [0,1]^\omega$ 」であるとして一般性を失いません。
これで全ての部品が揃いました。以下の定理が、最初の疑問への解答となります。
1. ウリゾーンの定理（定理 5.2）より、対象となる任意の可分距離空間 $X$ は $X \subset [0,1]^\omega$ の部分空間としてみなすことができます。
2. 定理 4.2 より、$[0,1]^\omega$ 内にベルンシュタイン集合 $B$ が存在します。これにより、ヒルベルト立方体は以下の2つの集合の直和に分割されます。 $$ [0,1]^\omega = B \cup B^c $$
3. $B$ と $B^c$ はどちらも punctiform 空間であることを示します。
補題 3.1 より、位相空間内の非自明な（2点以上を持つ）コンパクト連結部分空間（連続体）は、必ず非可算な閉集合となります。しかし、ベルンシュタイン集合の定義により、$B$ は非可算な閉集合を一切含みません。したがって、$B$ は非自明なコンパクト連結部分空間を含むことができず、定義 2.2 より $B$ は punctiform です。
全く同じ理由（ $B^c$ も非可算な閉集合を含まない）により、$B^c$ も punctiform となります。
4. 空間 $X$ を $B$ と $B^c$ を用いて次のように分割します。 $$ X = (X \cap B) \cup (X \cap B^c) $$
5. 位相空間の部分空間の性質として、punctiform 空間の任意の部分空間はやはり punctiform になります（元の空間にコンパクト連結な部分空間が存在しないなら、その部分空間の中にも当然存在し得ないからです）。
$X \cap B$ は $B$ の部分空間であるため punctiform です。
$X \cap B^c$ は $B^c$ の部分空間であるため punctiform です。
結論として、$X$ は $(X \cap B)$ と $(X \cap B^c)$ という 2つの punctiform 空間の和集合 として書くことができました。2つの和集合で書けるということは、当然ながら可算個の和集合（$\sigma$-punctiform）としても書けることを意味します。よって、証明は完了です。
「実数 $\mathbb{R}$ のような隙間のない連続体が、全く連続体を含まない（punctiformな）空間2つの和に分解できる」という事実は、直感に激しく反するかもしれません。しかし、これは選択公理に基づく非構成的な証明（超限帰納法）がもたらす「パラドックス的」な結果の一つです。ベルンシュタイン集合は極めて複雑に空間全体に散らばっており、ルベーグ可測ではないなどの病的な性質を持ちます。この「見えない細かな網目」によって、可分距離空間内のいかなる連続体をも完璧に切り裂くことができるのです。
本記事の構成や定理は、以下の位相幾何学および記述集合論の標準的な文献に基づいています。